Prolegômenos

Introdução aos Sistemas Caóticos

Autor

Afiliações

Timóteo Fassoni

Instituto de Física do Ibitipoca (IbitiPhys)

Universidade Federal de Viçosa (UFV)

👉Acesso aos slides do minicurso

O pêndulo duplo: O exemplo clássico de caoticidade da mecânica clássica!.

A principal referência para a elaboração deste minicurso são as notas de aula do prof. Jeremy S. Heyl [1], da University of British Columbia, sobre o fractal do pêndulo duplo. Aqui, seguiremos a seguinte proposta: 1. Elaborar o problema sobre o Caos na Física; 2. Introduzir os sistemas do pêndulo simples e do pêndulo duplo; 3. Introduzir o conceito de Espaço de Fase; 4. Discutir as sensibilidades às condições inicias com o Mapa de Poincaré e os Expoentes de Lyapunov; 5. Diferenciar caos de imprevisibilidade; 6. Aplicar o que aprendemos às órbitas planetárias.

Este material de apoio serve como complemento às discussões apresentadas. As seções aqui presentes desenvolvem os métodos computacionais, aprofundam em tópicos debatidos e abordam outros exemplos de sistemas caóticos. Veja que algumas delas requerem proficiência com cálculo diferencial e integral de muitas variáveis e equações diferenciais.

Direcionamos os alunos interessados ao livro do Strogatz [2], que desenvolve a maioria destes conceitos de forma muito intuitiva e com pouco requisito de cálculo e equações diferenciais. O livro do Nivaldo Lemos [3] é a principal referência para a parte de Mecânica Clássica; os artigos de Verlet [4], Forest and Ruth [5] e Molei Tao [6] são a base dos métodos computacionais para estudar estes sistemas. Para aqueles interessados na teoria mais geral de Sistemas Dinâmicos, indicamos o livro de Artur Lopes e Claus Doering [7] e, a principal referência para uma leitura avançada, o livro de Michel Brin e Garrett Stuck [8].

[1]

J. S. Heyl, “The Double Pendulum Fractal [Lecture notes]”. Department of Physics and Astronomy, University of British Columbia, 2008. Disponível em: https://www.famaf.unc.edu.ar/~vmarconi/fiscomp/Double.pdf

[2]

S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 3rd ed. CRC PRess, 2024.

[3]

N. Lemos, Mecânica Analítica, 2nd ed. LF, 2007.

[4]

L. Verlet, “Computer ‘Experiments’ on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules”, Phys. Rev., v. 159, n. 98, 1967, doi: https://doi.org/10.1103/PhysRev.159.98.

[5]

E. Forest e R. D. Ruth, “Fourth-order symplectic integration”, Physica D: Nonlinear Phenomena, v. 43, n. 1, p. 105–117, 1990, doi: https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90019-L.

[6]

M. Tao, “Explicit symplectic approximation of nonseparable Hamiltonians: Algorithm and long time performance”, Phys. Rev. E, v. 94, p. 043303, out. 2016, doi: 10.1103/PhysRevE.94.043303.

[7]

A. O. Lopes e C. I. Doering, Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, 2016.

[8]

M. Brin e G. Stuck, Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2002.